Geometria euclidea e geometria non euclidea: differenze e caratteristiche.

La geometria che ci è più familiare, quella su cui abbiamo trascorso buona parte dei nostri anni di studio alle superiori è la geometria euclidea. La geometria teorizzata da Euclide prende il nome per l’appunto da Euclide, un matematico greco vissuto nel 300 a.C. Il suo libro, intitolato Elementi, è una raccolta di assiomi, teoremi e dimostrazioni su quadrati, cerchi, angoli acuti, triangoli isosceli, concetti che oggi costituiscono uno dei capisaldi dei programmi scolastici delle scuole superiori italiane.

Quali sono le differenze principali tra la geometria euclidea e la geometria non euclidea? Breve guida tra postulati, iperbole e sfere.

Geometria Euclidea: i cinque postulati di Euclide.

Il termine postulato deriva dal latino postulatum e significa “ciò che è richiesto”. Nelle scienze e in geometria, con il termine di postulato si definisce una specifica proposizione che viene considerata come vera senza bisogno di essere dimostrata. Una sorta di dogma della scienza.

I cinque postulati di Euclide alla base della geometria moderna:

• Tra due punti qualsiasi c’è una linea retta
• Una linea retta può essere estesa all’infinito in entrambe le direzioni
• Qualsiasi centro e qualsiasi raggio può descrivere un cerchio
• Tutti gli angoli retti sono uguali
• Due rette qualsiasi equidistanti l’una dall’altra in due punti sono infinitamente parallele

Geometria non euclidea.

La geometria non euclidea è qualunque tipo di geometria diversa da quella che abbiamo appena descritto. Una geometria che non rispetta i 5 postulati di Euclide viene considerata come geometria non euclidea. La geometria non euclidea si riferisce quindi a qualsiasi geometria che non possa essere definita come euclidea.

Le due geometrie non euclidee più comuni sono la geometria sferica e la geometria iperbolica. La differenza essenziale tra euclidea e non euclidea è la natura stessa delle rette parallele, il modo in cui vengono considerate la rette parallele.

Nella geometria euclidea, dati un punto e una retta, c’è sempre una retta passante per il punto che è nello stesso piano della retta data e non lo interseca mai. Nella geometria non euclidea sferica (giusto per fare un esempio di geometri non euclidea) invece, tali linee non esisterebbero, mentre nella geometria non euclidea iperbolica esisterebbero almeno due rette distinte che passano per il punto e che sono parallele alla retta data.

Differenze tra euclidea e non euclidea.

La più importante differenza tra euclidea, e le due geometrie non euclidee, sta nel modo in cui vengono considerate le rette parallele. Euclide, nei suoi postulati, afferma che può esistere solo una linea che passa per un punto che è nello stesso piano della linea, mentre, come abbiamo visto, nella geometria sferica e in quella iperbolica ci ritroviamo a ragionare con, rispettivamente, un assenza di rette e un presenza di due rette passanti per un singolo punto.

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